根据《中国共产党纪律处分条例》和党内相关规定，对您的问题解答如下：

原则上，受到党内严重警告处分且在影响期内的党员，不能担任党支部书记。

以下是具体的分析和依据：

党内严重警告处分的影响期：

根据《中国共产党纪律处分条例》第十二条规定，党员受到党内严重警告处分，一年半内不得在党内提升职务和向党外组织推荐担任高于其原任职务的党外职务。

这个“一年半”就是处分的影响期。

党支部书记的任职资格：

党支部书记是党的基层组织的负责人，属于党内职务。

担任党支部书记，需要具备政治坚定、作风正派、群众拥护、符合任职条件等基本要求。

具体规定与分析：

直接影响：在党内严重警告处分的影响期内，党员受到“不得在党内提升职务”的限制。这意味着，不仅不能担任高于原任职务的党内职务，通常也不能担任新的党内职务（包括党支部书记），因为这被视为在党内职务上的变动或“提升”（即使是平级调动，在受处分期间也通常被视为不适宜）。

组织考察：党支部换届或补选支部书记时，上级党组织会对候选人进行考察。一名正在受处分影响期内的党员，由于其纪律处分的记录，通常会被认为不符合“政治坚定、作风正派”等任职条件，不适合担任支部负责人。

象征意义：党支部书记是党组织的“领头雁”，其形象和威信至关重要。让一个正在接受纪律处分考验的党员担任此职务，不利于维护党组织的严肃性和权威性，也不利于对本人和其他党员的教育。

结论：

在党内严重警告处分的一年半影响期内，该党员不具备担任小学党支部书记的资格。他需要在此期间深刻反省错误，积极改正，待影响期结束后，经组织考察确认其已改正错误并符合任职条件后，方可被考虑担任相应的党内职务。

建议：

该党员应正确对待组织处分，在影响期内严格要求自己，努力工作和学习，以实际行动争取组织和党员的信任。

党组织应加强对受处分党员的教育和帮助，关心其进步，待影响期结束后，根据其表现和支部工作需要，再行考虑其使用问题。