二项式定理展开式公式

更新时间:2026-08-07 09:53:29 栏目: 知识库

二项式定理描述了 $(a + b)^n$ 的展开规律，是代数中的基本定理之一。其核心思想是将高次幂多项式转化为一系列项的和，每一项的系数由组合数决定。公式为：

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$

其中， $\binom{n}{k}$ 称为二项式系数，表示从 $n$ 个元素中选取 $k$ 个的组合数，计算公式为 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 。展开式共有 $n+1$ 项，各项中 $a$ 的指数从 $n$ 递减到 $0$ ， $b$ 的指数从 $0$ 递增到 $n$ ，且每项指数之和恒为 $n$ 。

例如，当 $n=3$ 时， $(a + b)^3 = \binom{3}{0}a^3b^0 + \binom{3}{1}a^2b^1 + \binom{3}{2}a^1b^2 + \binom{3}{3}a^0b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ 。二项式系数的规律可通过杨辉三角直观展示，其应用遍及概率统计、微积分等多个数学领域。你能用它快速展开 $(2x - y)^4$ 吗？

二项式定理展开式公式

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