超几何分布的期望和方差公式

超几何分布描述了从有限总体中不放回抽样时成功次数的概率分布，其期望和方差公式体现了有限总体抽样的特性。设总体大小为 $N$，其中成功元素数量为 $K$，样本容量为 $n$，则随机变量 $X$（样本中的成功次数）的期望和方差公式如下：

期望公式

$E(X) = n \cdot \frac{K}{N}$
这个结果与二项分布的期望形式一致，直观理解为：每次抽样的成功概率本质上等于总体中成功元素的比例 $\frac{K}{N}$，因此 $n$ 次抽样的平均成功次数为两者的乘积。推导过程中，通过组合数性质和概率之和为1的特性，可将期望简化为上述形式。

方差公式

$\text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}$
方差公式比二项分布多了一个有限总体校正因子 $\frac{N - n}{N - 1}$，这是因为不放回抽样导致各次试验不独立，样本量 $n$ 占总体 $N$ 的比例越大，数据波动越小。校正因子 $\frac{N - n}{N - 1}$ 反映了总体规模对抽样误差的影响，当 $N \to \infty$ 时，该因子趋近于1，此时超几何分布近似于二项分布。

应用与特性

参数意义：期望 $E(X)$ 表示样本中成功次数的平均值，方差 $\text{Var}(X)$ 描述其波动程度。

与二项分布的区别：超几何分布适用于有限总体不放回抽样（如质检中的破坏性测试），而二项分布适用于无限总体或放回抽样。

简化计算：当 \(N \gg n\)（总体远大于样本）时，校正因子可近似为1，此时超几何分布可用二项分布 \(B(n, \frac{K}{N})\) 近似计算。

例如，从100件产品（含10件次品）中随机抽取5件，次品数 \(X\) 服从超几何分布 \(H(100, 10, 5)\)，其期望为 \(5 \cdot \frac{10}{100} = 0.5\)，方差为 \(5 \cdot 0.1 \cdot 0.9 \cdot \frac{95}{99} \approx 0.43\)，反映了抽样结果的平均水平和波动情况。

这些公式不仅是理论推导的结果，更在质量控制、市场调研等领域有直接应用，帮助我们从有限数据中推断总体特征。

超的基本解释

基本字义

超chāo（ㄔㄠ）

⒈  越过，高出：超越。高超。超出。超额。超龄。超等。超载。超重。超支。

⒉  跳上，跨过：“挟泰山以超北海”。

⒊  在一定范围以外：超自然。超音速。超导现象。

⒋  遥远：超遥。超忽。

⒌  怅惘的样子：“武侯超然不对”。

汉英互译

exceed、go beyond、overtake

造字法

形声：从走、召声

English

jump over, leap over; surpass