解析 “coset”是一个数学术语，中文通常翻译为“陪集”。

在群论中，如果 G GG 是一个群，H HH 是 G GG 的一个子群，对于 G GG 中的任意元素 g gg，集合 g H = { g h ∣ h ∈ H } gH=\{gh | h\in H\}gH={gh∣h∈H} 称为 H HH 在 G GG 中的一个左陪集；集合 H g = { h g ∣ h ∈ H } Hg = \{hg | h\in H\}Hg={hg∣h∈H} 称为 H HH 在 G GG 中的一个右陪集。

它没有常见的英文缩写形式。

英文造句 In group theory, understanding cosets is fundamental to analyzing the structure of groups.（在群论中，理解陪集对于分析群的结构是基础性的。）

解析：“In group theory” 是状语，表明论述的领域；“understanding cosets” 是动名词短语作主语，表示“理解陪集”这个行为；“is” 是系动词；“fundamental” 是表语；“to analyzing the structure of groups” 是状语，说明对什么是基础性的。

Let G GG be a group and H HH be a subgroup of G GG. Then g H gHgH is a left coset of H HH in G GG for any g ∈ G g\in Gg∈G.（设 G GG 是一个群，H HH 是 G GG 的一个子群。

那么对于 G GG 中任意的 g gg，g H gHgH 是 H HH 在 G GG 中的一个左陪集。）

解析：“Let G GG be a group and H HH be a subgroup of G GG” 是祈使句结构，用于设定前提条件；“Then” 承接上文；“g H gHgH” 是主语；“is” 是系动词；“a left coset of H HH in G GG” 是表语；“for any g ∈ G g\in Gg∈G” 是状语。

The number of distinct left cosets of H HH in G GG is called the index of H HH in G GG.（H HH 在 G GG 中不同左陪集的数量称为 H HH 在 G GG 中的指数。）

解析：“The number of distinct left cosets of H HH in G GG” 是主语，其中 “The number of...” 表示“……的数量”，“distinct left cosets of H HH in G GG” 具体说明了是什么的数量；“is called” 是谓语，是被动语态，表示“被称为”；“the index of H HH in G GG” 是宾语。

Two left cosets g 1 H g_1Hg1​H and g 2 H g_2Hg2​H are either equal or disjoint.（两个左陪集 g 1 H g_1Hg1​H 和 g 2 H g_2Hg2​H 要么相等要么不相交。）

解析：“Two left cosets g 1 H g_1Hg1​H and g 2 H g_2Hg2​H” 是主语；“are” 是系动词；“either equal or disjoint” 是表语，“either...or...” 表示“要么……要么……”。

We can partition the group G GG into a collection of non - overlapping left cosets of H HH.（我们可以将群 G GG 划分成 H HH 的一组互不重叠的左陪集。）

解析：“We” 是主语；“can partition” 是谓语；“the group G GG” 是宾语；“into a collection of non - overlapping left cosets of H HH” 是状语，“partition...into...” 表示“将……划分为……”。

The concept of cosets helps us simplify the study of group operations.（陪集的概念有助于我们简化群运算的研究。）

解析：“The concept of cosets” 是主语，“of cosets” 修饰 “concept”；“helps” 是谓语；“us” 是宾语；“simplify the study of group operations” 是宾语补足语，“help sb. do sth.” 表示“帮助某人做某事”。

For a finite group G GG and its subgroup H HH, the size of G GG is equal to the product of the size of H HH and the number of left cosets of H HH in G GG.（对于一个有限群 G GG 及其子群 H HH，G GG 的阶等于 H HH 的阶与 H HH 在 G GG 中左陪集数量的乘积。）

解析：“For a finite group G GG and its subgroup H HH” 是状语；“the size of G GG” 是主语；“is equal to” 是谓语；“the product of the size of H HH and the number of left cosets of H HH in G GG” 是宾语，其中 “the product of...” 表示“……的乘积”。

Right cosets also play an important role in the study of group properties.（右陪集在群性质的研究中也起着重要作用。）

解析：“Right cosets” 是主语；“play” 是谓语；“an important role” 是宾语；“in the study of group properties” 是状语，“play a role in...” 表示“在……中起作用”。

If H HH is a normal subgroup of G GG, then the left cosets and right cosets of H HH in G GG coincide.（如果 H HH 是 G GG 的一个正规子群，那么 H HH 在 G GG 中的左陪集和右陪集是重合的。）

解析：“If H HH is a normal subgroup of G GG” 是条件状语从句；“then” 引导主句；“the left cosets and right cosets of H HH in G GG” 是主语；“coincide” 是谓语。

The study of