根据《中国共产党章程》、《中国共产党党和国家机关基层组织工作条例》等党内法规的规定，机关支部必须建立并落实党建工作责任制。

这并非一个可选项，而是加强党的建设、确保全面从严治党向基层延伸的基本要求和制度保障。具体要求主要体现在以下几个方面：

党内法规的明确要求：

《中国共产党章程》规定，党的基层组织的基本任务包括“对党员进行教育、管理、监督和服务”等，履行这些职责需要明确的责任制来保障。

《中国共产党党和国家机关基层组织工作条例》明确指出，机关基层党组织必须把党的政治建设摆在首位，落实党建工作责任制。条例还专门规定了机关基层党组织的职责，其中就包括“协助党组（党委）做好机关党建工作的规划、部署和落实”。

中共中央办公厅印发的《党委（党组）落实全面从严治党主体责任规定》更是将“落实党建工作责任制”作为党委（党组）及其书记和领导班子成员的重要责任内容。机关党支部作为党的基础组织，是落实全面从严治党主体责任的关键一环，必须建立相应的责任制来承接和落实上级要求。

责任制的主要内容：
机关支部的党建工作责任制通常包括：

支部委员会集体责任：支部委员会对本支部的党建工作负全面领导责任，负责研究规划、组织协调、督促检查。

支部书记第一责任：支部书记是支部党建工作的“第一责任人”，负责主持支部全面工作，牵头制定计划、组织实施、抓好落实。

支部委员“一岗双责”：各位支部委员（如组织委员、宣传委员、纪检委员等）在职责范围内承担相应的党建工作责任，既要抓好业务工作，也要抓好分管领域的党建工作。

党员责任：普通党员也应通过承诺践诺、设岗定责等方式，在党建工作中发挥作用，履行党员义务。

建立责任制的重要性：

明确职责分工：使支部班子成员和全体党员清楚自己在党建工作中“该干什么、该怎么干、该负什么责”，避免职责不清、推诿扯皮。

形成工作合力：将党建任务层层分解、压力层层传导，确保支部上下心往一处想、劲往一处使，共同抓好党建工作。

强化考核问责：责任制是考核评价支部班子和党员领导干部抓党建工作成效的重要依据，有利于推动党建工作从“软任务”变成“硬指标”。

提升党建质量：通过责任制的落实，推动支部党建工作规范化、制度化、科学化，不断提升支部的组织力、凝聚力和战斗力，充分发挥战斗堡垒作用。

总结来说：

是的，机关支部必须建立党建工作责任制。 这是贯彻落实全面从严治党战略方针、加强和改进机关党的建设的必然要求，是确保机关党建工作有人抓、问题有人管、责任有人担的基础性制度安排。任何机关党支部都应按照党章党规的要求，建立健全并严格执行党建工作责任制。